求留数专项：无穷远点与留数总和

先提取 $1/z$1/z 系数，再区分两个问题的符号。

结果：无穷远点留数 $-3$-3；有限留数之和 $3$3；$1,-1$1,-1 处留数为 $2,1$2,1。

无穷远展开为 $f(z)=3/z+1/z^2+O(z^{-3})$f(z)=3/z+1/z^2+O(z^-3)。无穷远点留数是 $1/z$1/z 系数的负值，所以为 $-3$-3，有限和为 $3$3。局部商式法给出 $(3+1)/2=2$(3+1)/2=2 和 $(-3+1)/(-2)=1$(-3+1)/(-2)=1，和为 $3$3。

用 $1/z$1/z 作小量展开。

结果：两者均为 $0$0。

$f(z)=z^{-4}(1+z^{-4}{)}^{-1}=z^{-4}-z^{-8}+\cdots$f(z)=z^-4(1+z^-4)^-1=z^-4-z^-8+cdots，没有 $1/z$1/z 项，所以无穷远点留数为零，有限留数之和也为零。这里有限极点依然存在，留数和为零不能推出每个留数为零。

比较无穷远展开与商式法。

结果：无穷远点留数 $-1$-1；有限和 $1$1；每个三次单位根处留数为 $1/3$1/3。

$f(z)=z^{-1}(1-z^{-3}{)}^{-1}=z^{-1}+z^{-4}+\cdots$f(z)=z^-1(1-z^-3)^-1=z^-1+z^-4+cdots，故无穷远点留数为 $-1$-1，有限和为 $1$1。三个极点 ${\zeta }^3=1$zeta^3=1 互异，$Q^{\prime }(\zeta )=3{\zeta }^2$Q^prime(zeta)=3zeta^2，留数 ${\zeta }^2/(3{\zeta }^2)=1/3$zeta^2/(3zeta^2)=1/3。单靠总和不能断定三者相等，需要这一步局部验证。

先进行多项式除法。

结果：无穷远点留数 $1$1；有限和 $-1$-1；不能使用该极限捷径。

先长除得 $f(z)=z-z/(z^2+1)=z-z^{-1}+O(z^{-3})$f(z)=z-z/(z^2+1)=z-z^-1+O(z^-3)。$1/z$1/z 系数为 $-1$-1，故无穷远点留数为 $1$1，有限和为 $-1$-1。$zf(z)$zf(z) 含 $z^2$z^2 项而发散，捷径不适用。局部计算在 $\pm i$+/- i 处各得 $z^3/(2z)=z^2/2=-1/2$z^3/(2z)=z^2/2=-1/2。

列出全部有限奇点，确保没有漏项。

结果：无穷远点留数 $-1$-1；$z=2$z=2 留数 $5/4$5/4；原点留数 $-1/4$-1/4。

$f(z)=z^{-1}(1+z^{-2})(1-2/z{)}^{-1}=z^{-1}+O(z^{-2})$f(z)=z^-1(1+z^-2)(1-2/z)^-1=z^-1+O(z^-2)，有限和为 $1$1，无穷远点留数为 $-1$-1。$z=2$z=2 为单极点，留数为 $(2^2+1)/2^2=5/4$(2^2+1)/2^2=5/4。仅有两个有限极点，故原点留数 $1-5/4=-1/4$1-5/4=-1/4；也可对 $(z^2+1)/(z-2)$(z^2+1)/(z-2) 在原点求一次导数核对。