求留数专项：高阶极点公式

二阶极点只需一阶导数。

结果：$e$e。

$m=2$m=2，消去极点后 $g(z)=(z-1{)}^{2}f(z)=e^z$g(z)=(z-1)^2f(z)=e^z。留数为 $g^{\prime }(1)/1!=e$g^prime(1)/1!=e。不是 $g(1)$g(1) 对所有阶数都成立，而是本题导数恰好等于原函数。

消去 $(z-i{)}^2$(z-i)^2 后再求导。

结果：$-i/4$-i/4。

写成 $1/[(z-i{)}^2(z+i{)}^2]$1/[(z-i)^2(z+i)^2]，$i$i 是二阶极点。$g(z)=(z+i{)}^{-2}$g(z)=(z+i)^-2，故留数为 $g^{\prime }(i)=-2/(2i{)}^3=-i/4$g^prime(i)=-2/(2i)^3=-i/4。另一个因子 $z+i$z+i 在 $i$i 处不为零，必须保留在待求导函数里。

对 $z^2/(z+i{)}^2$z^2/(z+i)^2 求一次导数。

结果：$-i/4$-i/4。

$g(z)=z^2/(z+i{)}^2$g(z)=z^2/(z+i)^2，其导数为 $2z/(z+i{)}^2-2z^2/(z+i{)}^3=2iz/(z+i{)}^3$2z/(z+i)^2-2z^2/(z+i)^3=2iz/(z+i)^3。代入 $z=i$z=i 得 $-2/(2i{)}^3=-i/4$-2/(2i)^3=-i/4。原点不在此次计算中心，不能以原点泰勒展开替代 $i$i 附近的局部计算。

对 $e^z/(z-1)$e^z/(z-1) 整体求导。

结果：$-2$-2。

原点为二阶极点，$g(z)=e^z/(z-1)$g(z)=e^z/(z-1) 在原点解析。$g^{\prime }(z)=e^z/(z-1)-e^z/(z-1{)}^2$g^prime(z)=e^z/(z-1)-e^z/(z-1)^2，所以 $g^{\prime }(0)=-1-1=-2$g^prime(0)=-1-1=-2。只对指数求导会漏掉分母因子的贡献。

三阶极点求二阶导数，别忘除以 $2!$2!。

结果：$3$3。

$z=1$z=1 为三阶极点，$g(z)=z^{-2}$g(z)=z^-2。$g^{\prime \prime }(z)=6z^{-4}$g^primeprime(z)=6z^-4，所以留数为 $g^{\prime \prime }(1)/2!=6/2=3$g^primeprime(1)/2!=6/2=3。原点的二阶极点与 $1$1 处阶数无关。