留数习题集

这组练习配合求留数：方法选择与计算及留数定理与实积分计算，依据讲义 3.5–3.7 节与方法选择表组织。先用专项练熟计算，再在综合题中自己决定方法。

题集	题量	训练重点
洛朗展开法	5	寻找本性奇点展开中的 $a_{- 1}$ a_-1；乘积中要匹配所有指数和为 $- 1$ -1 的项。
单极点极限法	5	先约分判定是否为一阶极点，再消去一次因子并取极限。
商式法 $P / Q^{'}$ P/Q^prime	5	验证分母为一阶零点，使用 $P (z_{0}) / Q^{'} (z_{0})$ P(z_0)/Q^prime(z_0)。
高阶极点公式	5	消去实际极点，求 $m - 1$ m-1 阶导数，并除以 $(m - 1)!$ (m-1)!。
泰勒系数法	5	把解析因子展开到所需次数，取与分母配合产生 $- 1$ -1 次幂的系数。
无穷远点与留数总和	5	读出无穷远展开的 $1 / z$ 1/z 系数，区分有限留数之和与无穷远点留数。
综合题集	44	自主选方法、围道方向、参数积分、微分方程系数、余切核求和

综合卷复用全部 30 道专项题，另含 10 道新题及 4 道旧题，因此本次新增独立题目为 40 道，不是 74 道。各题都有参考结果和关键推导；专项另有折叠提示，综合卷隐藏方法分组和提示。

怎样使用

先复习奇点分类和六种方法的条件。
独立写出推导，避免只填一个结果。
展开解析，检查阶数、阶乘、负号和系数配对。
综合卷按混合顺序作答；自由作答题以「尚未掌握、部分掌握、基本掌握」自评。

阅读版与交互版

本目录的阅读版可以直接使用，答案默认折叠。对应的七个交互测试集合已整理为题库草稿；按项目的人工审核流程发布后可进入正式小测。本地开启草稿预览时，各题集文末会显示入口。

参考范围

基础定义、Fibonacci 例题、实轴积分与讲义思考题参考仓库中的 References/数学物理方法课件/mmplecture 3.5-3.7.md；六种训练方法对应用户提供的方法选择表。题面与解析按定义重新编写，并补充了适用条件、无穷远点总和法和旧题勘误。

本页面最近更新：2026/10/12 13:04:22，更新历史
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