常微分方程

自然界的许多定律都描述了「变化率」和「量」本身之间的关系．例如，一个物体的加速度（位置的变化率的变化率）取决于它所受的力，而力又可能取决于它的位置．这种包含了未知函数及其导数的关系式，就是 微分方程．

如果方程中的未知函数只依赖于一个自变量（比如时间 $t$ 或位置 $x$），我们就称之为 常微分方程 (ODE)．

常微分方程的一般形式为：

$$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots ,y^{(n)})=0$$

其中 $y=y(x)$ 是我们想要找的未知函数．方程中出现的导数的最高阶数 $n$ 称为方程的 阶．解一个微分方程，意味着找到满足这个方程的具体函数 $y(x)$．

一阶常微分方程

一阶 ODE 的形式为 $F(x,y,y^{\prime })=0$．

例题 1：放射性衰变

问题：放射性元素的衰变速率与当前存在的原子核数量 $N$ 成正比．如果初始时刻 ($t=0$) 有 $N_0$ 个原子核，衰变常数为 $\lambda$，请求出原子核数量 $N(t)$ 随时间变化的规律．

解：

1. 建立方程：根据题意，「衰变速率」是 $\frac{dN}{dt}$，「与当前数量成正比」意味着 $\frac{dN}{dt}\propto -N$（负号表示数量在减少）．写成方程就是：

   $$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$

   这是一个一阶常微分方程．

2. 求解方程（分离变量法）：我们将所有含 $N$ 的项移到一边，含 $t$ 的项移到另一边．

   $$\frac{dN}{N}=-\lambda dt$$

   然后对两边同时积分：

   $$\int \frac{1}{N}dN=\int -\lambda dt$$

   得到：

   $$\ln \left(N\right)=-\lambda t+C$$

   其中 $C$ 是积分常数．为了求出 $N$，我们对两边取指数：

   $$N(t)=e^{-\lambda t+C}=e^C\cdot e^{-\lambda t}$$

3. 使用初始条件确定常数：我们将 $e^C$ 这个常数记为 $A$，所以 $N(t)=A{e}^{-\lambda t}$．现在使用初始条件 $N(0)=N_0$：

   $$N(0)=A{e}^0=A=N_0$$

   所以常数 $A$ 就是初始原子核数 $N_0$．

4. 最终解：

   $$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$$

   这就是著名的指数衰减定律．

二阶线性常微分方程

二阶线性 ODE 在物理学中极为常见，尤其是在振动和波动问题中．其一般形式为：

$$a(x)y^{″}+b(x)y^{\prime }+c(x)y=f(x)$$

如果右边的 $f(x)=0$，则方程是 齐次 的；否则是 非齐次 的．

例题 2：简谐振动

问题：一个质量为 $m$ 的物块连接到一个劲度系数为 $k$ 的弹簧上，在光滑水平面上运动．根据胡克定律，回复力 $F=-kx$．根据牛顿第二定律 $F=ma=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$，推导其运动方程并求解．

解：

1. 建立方程：

   $$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

   整理后得到一个二阶常系数齐次线性微分方程：

   $$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m}x=0$$

   我们令 ${\omega }^2=k/m$，其中 $\omega$ 称为角频率．方程变为：

   $$x^{″}+{\omega }^{2}x=0$$

2. 求解方程：对于这种形式的方程，我们可以猜测解的形式为 $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$ 或 $x(t)=C_1\sin \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right)$．让我们验证一下后者．

   • $x^{\prime }(t)=\omega C_1\cos \left(\omega t\right)-\omega C_2\sin \left(\omega t\right)$
   • $x^{″}(t)=-{\omega }^2{C}_1\sin \left(\omega t\right)-{\omega }^2{C}_2\cos \left(\omega t\right)=-{\omega }^2(C_1\sin \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right))=-{\omega }^{2}x(t)$ 代入原方程：
   $$(-{\omega }^{2}x)+{\omega }^{2}x=0$$

   方程成立！

3. 最终解：

   $$x(t)=C_1\sin \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right)$$

   这就是简谐振动的通解．常数 $C_1$ 和 $C_2$（或者等价地，振幅 $A$ 和初相位 $\varphi$) 由初始条件（例如，初始位置 $x(0)$ 和初始速度 $x^{\prime }(0)$）确定．

物理中的应用总结

• 牛顿第二定律:$F=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$（力学）
• RLC 电路:$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=V(t)$（电磁学）
• 热传导方程（一维稳态）：$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=0$（热学）
• 薛定谔方程（一维定态）：$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$（量子力学）

微分方程是物理学的语言．一旦你将一个物理情景「翻译」成一个微分方程，数学就提供了一套强大的工具来求解它，从而预测系统的未来行为．

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