常微分方程

自然界的许多定律都描述了“变化率”和“量”本身之间的关系。例如，一个物体的加速度（位置的变化率的变化率）取决于它所受的力，而力又可能取决于它的位置。这种包含了未知函数及其导数的关系式，就是微分方程。

如果方程中的未知函数只依赖于一个自变量（比如时间 $t$ 或位置 $x$），我们就称之为常微分方程 (ODE)。

常微分方程的一般形式为：

$$F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots ,y^{(n)})=0$$

其中 $y=y(x)$ 是我们想要找的未知函数。方程中出现的导数的最高阶数 $n$ 称为方程的阶。解一个微分方程，意味着找到满足这个方程的具体函数 $y(x)$。

一阶常微分方程

一阶ODE的形式为 $F(x,y,y^{\prime })=0$。

例题 1：放射性衰变

问题：放射性元素的衰变速率与当前存在的原子核数量 $N$ 成正比。如果初始时刻 ($t=0$) 有 $N_0$ 个原子核，衰变常数为 $\lambda$，请求出原子核数量 $N(t)$ 随时间变化的规律。

解： 1. 建立方程：根据题意，“衰变速率”是 $\frac{dN}{dt}$，“与当前数量成正比”意味着 $\frac{dN}{dt}\propto -N$ (负号表示数量在减少)。写成方程就是：

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$$
\frac{dN}{dt} = -\lambda N
$$

这是一个一阶常微分方程。

1. 求解方程 (分离变量法)：我们将所有含 $N$ 的项移到一边，含 $t$ 的项移到另一边。

   $$\frac{dN}{N}=-\lambda dt$$

   然后对两边同时积分：

   $$\int \frac{1}{N}dN=\int -\lambda dt$$

   得到：

   $$\ln \left(N\right)=-\lambda t+C$$

   其中 $C$ 是积分常数。为了求出 $N$，我们对两边取指数：

   $$N(t)=e^{-\lambda t+C}=e^C\cdot e^{-\lambda t}$$

2. 使用初始条件确定常数：我们将 $e^C$ 这个常数记为 $A$，所以 $N(t)=A{e}^{-\lambda t}$。现在使用初始条件 $N(0)=N_0$：

   $$N(0)=A{e}^0=A=N_0$$

   所以常数 $A$ 就是初始原子核数 $N_0$。

3. 最终解：

   $$N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$$

   这就是著名的指数衰减定律。

二阶线性常微分方程

二阶线性ODE在物理学中极为常见，尤其是在振动和波动问题中。其一般形式为：

$$a(x)y^{″}+b(x)y^{\prime }+c(x)y=f(x)$$

如果右边的 $f(x)=0$，则方程是齐次的；否则是非齐次的。

例题 2：简谐振动

问题：一个质量为 $m$ 的物块连接到一个劲度系数为 $k$ 的弹簧上，在光滑水平面上运动。根据胡克定律，回复力 $F=-kx$。根据牛顿第二定律 $F=ma=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$，推导其运动方程并求解。

解： 1. 建立方程：

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$$
m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx
$$

整理后得到一个二阶常系数齐次线性微分方程：

$$
\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0
$$

我们令 $\omega^2 = k/m$，其中 $\omega$ 称为角频率。方程变为：

$$
x'' + \omega^2 x = 0
$$

1. 求解方程：对于这种形式的方程，我们可以猜测解的形式为 $x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$ 或 $x(t)=C_1\sin \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right)$。让我们验证一下后者。

   • $x^{\prime }(t)=\omega C_1\cos \left(\omega t\right)-\omega C_2\sin \left(\omega t\right)$
   • $x^{″}(t)=-{\omega }^2{C}_1\sin \left(\omega t\right)-{\omega }^2{C}_2\cos \left(\omega t\right)=-{\omega }^2(C_1\sin \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right))=-{\omega }^{2}x(t)$ 代入原方程：
   $$(-{\omega }^{2}x)+{\omega }^{2}x=0$$

   方程成立！

2. 最终解：

   $$x(t)=C_1\sin \left(\omega t\right)+C_2\cos \left(\omega t\right)$$

   这就是简谐振动的通解。常数 $C_1$ 和 $C_2$ (或者等价地，振幅 $A$ 和初相位 $\varphi$) 由初始条件（例如，初始位置 $x(0)$ 和初始速度 $x^{\prime }(0)$）确定。

物理中的应用总结

• 牛顿第二定律: $F=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ (力学)
• RLC 电路: $L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=V(t)$ (电磁学)
• 热传导方程 (一维稳态): $\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=0$ (热学)
• 薛定谔方程 (一维定态): $-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi$ (量子力学)

微分方程是物理学的语言。一旦你将一个物理情景“翻译”成一个微分方程，数学就提供了一套强大的工具来求解它，从而预测系统的未来行为。

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