积分

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如果说导数是把事物「分解」成瞬时变化，那么积分就是把这些无限小的部分「组装」起来，得到一个总和．积分是导数的逆运算，它能帮助我们计算曲线下的面积、累积的总量、变力所做的功等．

不定积分（Indefinite Integral）

不定积分要回答的问题是：「什么函数的导数是 $f (x)$ f(x)？」

如果 $F^{'} (x) = f (x)$ F'(x) = f(x)，那么 $F (x)$ F(x) 称为 $f (x)$ f(x) 的一个 原函数(Antiderivative)．例如，因为 $(x^{2})^{'} = 2 x$ (x^2)' = 2x，所以 $x^{2}$ x^2 是 $2 x$ 2x 的一个原函数．

但是， $(x^{2} + 3)^{'} = 2 x$ (x^2+3)' = 2x， $(x^{2} - 100)^{'} = 2 x$ (x^2-100)' = 2x．任何常数的导数都是 0．所以，一个函数的原函数不是唯一的，它们相差一个常数．

函数 $f (x)$ f(x) 的所有原函数的集合称为 $f (x)$ f(x) 的 不定积分，记作：

\int f (x) d x = F (x) + C

int f(x) ,dx = F(x) + C

其中 $C$ C 是任意常数，称为 积分常数．这个 $+ C$ +C 至关重要，在解决物理问题时，它通常由初始条件或边界条件确定．

定积分（Definite Integral）

定积分要回答的问题是：「从 $x = a$ x=a 到 $x = b$ x=b，函数 $f (x)$ f(x) 曲线下的面积是多少？」

想象一下把这个区域切成无数个极窄的矩形条，每个矩形的宽度是无限小的 $Δ x$ Delta x，高度是 $f (x)$ f(x)．然后把所有这些小矩形的面积加起来．这个过程就是定积分．

函数 $f (x)$ f(x) 在区间 $[a, b]$ [a, b] 上的定积分定义为 黎曼和 的极限：

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x

int_a^b f(x) ,dx = lim_n -> inf sum_i=1^n f(x_i^*) Delta x

其中 $[a, b]$ [a, b] 被分成 $n$ n 个小区间， $Δ x = (b - a) / n$ Delta x = (b-a)/n 是小区间的长度， $x_{i}^{*}$ x_i^* 是第 $i$ i 个小区间内任意一点．

从几何上看，如果 $f (x) \geq 0$ f(x) >= 0，定积分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ int_a^b f(x) ,dx 表示由曲线 $y = f (x)$ y=f(x)、x 轴以及直线 $x = a$ x=a 和 $x = b$ x=b 围成的曲边梯形的面积．

微积分基本定理（牛顿 - 莱布尼茨公式）

这个定理是微积分中最深刻、最重要的结果之一．它奇迹般地将看似无关的两个概念——导数（切线斜率）和积分（曲线下面积）——联系在了一起．

定理内容如下：如果 $F (x)$ F(x) 是 $f (x)$ f(x) 的任意一个原函数，那么

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

int_a^b f(x) ,dx = F(b) - F(a)

这提供了一个计算定积分的强大方法：我们不再需要去求复杂的黎曼和极限，只需要找到一个原函数，然后代入上下限相减即可！

例题 1：计算抛物线下的面积

求由 $y = x^{2}$ y=x^2，x 轴，以及 $x = 0, x = 1$ x=0, x=1 所围成的面积．

这个问题就是要求解定积分 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ int_0^1 x^2 ,dx．

找原函数: 我们知道 $(\frac{1}{3} x^{3})^{'} = x^{2}$ (1/3x^3)' = x^2．所以 $F (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ F(x) = 1/3x^3 是 $x^{2}$ x^2 的一个原函数．
应用基本定理:
$\int_{0}^{1} x^{2} d x = F (1) - F (0) = \frac{1}{3} (1)^{3} - \frac{1}{3} (0)^{3} = \frac{1}{3}$ int_0^1 x^2 ,dx = F(1) - F(0) = 13(1)^3 - 13(0)^3 = 13

所以，这个区域的面积是 $\frac{1}{3}$ 1/3．

物理中的应用

积分是物理学中从微观规律（通常是微分形式）得到宏观可测量结果的桥梁．

从速度求位移：如果你知道一个物体在任何时刻的速度 $v (t)$ v(t)，那么在时间段 $[t_{1}, t_{2}]$ [t_1, t_2] 内的总位移 $Δ s$ Delta s 就是速度对时间的积分．
- $Δ s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$ Delta s = int_t_1^t_2 v(t) ,dt
- 这是因为 $v (t) = d s / d t$ v(t) = ds/dt，积分是求导的逆运算．
变力做功：如果一个力 $F (x)$ F(x) 随位置 $x$ x 变化，那么把物体从 $x_{a}$ x_a 移动到 $x_{b}$ x_b 所做的功 $W$ W 是力对位移的积分．
- $W = \int_{x_{a}}^{x_{b}} F (x) d x$ W = int_x_a^x_b F(x) ,dx
- 这是因为功的微元 $d W = F (x) d x$ dW = F(x)dx，总功就是所有微元功的和．
计算质心：对于一个连续分布的物体，其质心的位置 ${\vec{r}}_{c}$ r_c 是通过对整个物体的质量进行加权平均得到的，这需要用到积分．
- ${\vec{r}}_{c} = \frac{\int \vec{r} d m}{\int d m} = \frac{1}{M} \int \vec{r} ρ (\vec{r}) d V$ r_c = int r ,dmint ,dm = 1/M int r rho(r) ,dV
- 其中 $ρ (\vec{r})$ rho(r) 是密度分布， $M$ M 是总质量．
电场与电势：电势差是电场强度沿路径的线积分．
- $V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}$ V_B - V_A = -int_A^B E * dl

积分无处不在，它是物理学家用来「求和」的最重要的工具．

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