积分

如果说导数是把事物“分解”成瞬时变化，那么积分就是把这些无限小的部分“组装”起来，得到一个总和。积分是导数的逆运算，它能帮助我们计算曲线下的面积、累积的总量、变力所做的功等。

不定积分 (Indefinite Integral)

不定积分要回答的问题是：“什么函数的导数是 $f(x)$？”

如果 $F^{\prime }(x)=f(x)$，那么 $F(x)$ 称为 $f(x)$ 的一个原函数 (Antiderivative)。例如，因为 $(x^2{)}^{\prime }=2x$，所以 $x^2$ 是 $2x$ 的一个原函数。

但是，$(x^2+3{)}^{\prime }=2x$，$(x^2-100{)}^{\prime }=2x$。任何常数的导数都是0。所以，一个函数的原函数不是唯一的，它们相差一个常数。

函数 $f(x)$ 的所有原函数的集合称为 $f(x)$ 的不定积分，记作：

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

其中 $C$ 是任意常数，称为积分常数。这个 $+C$ 至关重要，在解决物理问题时，它通常由初始条件或边界条件确定。

定积分 (Definite Integral)

定积分要回答的问题是：“从 $x=a$ 到 $x=b$，函数 $f(x)$ 曲线下的面积是多少？”

想象一下把这个区域切成无数个极窄的矩形条，每个矩形的宽度是无限小的 $\mathrm{\Delta }x$，高度是 $f(x)$。然后把所有这些小矩形的面积加起来。这个过程就是定积分。

函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分定义为黎曼和的极限：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\mathrm{\Delta }x$$

其中 $[a,b]$ 被分成 $n$ 个小区间，$\mathrm{\Delta }x=(b-a)/n$ 是小区间的长度，$x_i^{\ast }$ 是第 $i$ 个小区间内任意一点。

从几何上看，如果 $f(x)\ge 0$，定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 表示由曲线 $y=f(x)$、x轴以及直线 $x=a$ 和 $x=b$ 围成的曲边梯形的面积。

微积分基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)

这个定理是微积分中最深刻、最重要的结果之一。它奇迹般地将看似无关的两个概念——导数（切线斜率）和积分（曲线下面积）——联系在了一起。

定理内容如下：如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，那么

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

这提供了一个计算定积分的强大方法：我们不再需要去求复杂的黎曼和极限，只需要找到一个原函数，然后代入上下限相减即可！

例题 1：计算抛物线下的面积

求由 $y=x^2$，x轴，以及 $x=0,x=1$ 所围成的面积。

这个问题就是要求解定积分 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$。

1. 找原函数: 我们知道 $(\frac{1}{3}{x}^3{)}^{\prime }=x^2$。所以 $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$ 是 $x^2$ 的一个原函数。

2. 应用基本定理:

   $${\int }_0^1{x}^{2}dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}(1{)}^3-\frac{1}{3}(0{)}^3=\frac{1}{3}$$

所以，这个区域的面积是 $\frac{1}{3}$。

物理中的应用

积分是物理学中从微观规律（通常是微分形式）得到宏观可测量结果的桥梁。

• 从速度求位移：如果你知道一个物体在任何时刻的速度 $v(t)$，那么在时间段 $[t_1,t_2]$ 内的总位移 $\mathrm{\Delta }s$ 就是速度对时间的积分。

  • $\mathrm{\Delta }s={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$
  • 这是因为 $v(t)=ds/dt$，积分是求导的逆运算。

• 变力做功：如果一个力 $F(x)$ 随位置 $x$ 变化，那么把物体从 $x_a$ 移动到 $x_b$ 所做的功 $W$ 是力对位移的积分。

  • $W={\int }_{x_a}^{x_b}F(x)dx$
  • 这是因为功的微元 $dW=F(x)dx$，总功就是所有微元功的和。

• 计算质心：对于一个连续分布的物体，其质心的位置 ${\overrightarrow{r}}_c$ 是通过对整个物体的质量进行加权平均得到的，这需要用到积分。

  • ${\overrightarrow{r}}_c=\frac{\int \overrightarrow{r}dm}{\int dm}=\frac{1}{M}\int \overrightarrow{r}\rho (\overrightarrow{r})dV$
  • 其中 $\rho (\overrightarrow{r})$ 是密度分布，$M$ 是总质量。

• 电场与电势：电势差是电场强度沿路径的线积分。

  • $V_B-V_A=-{\int }_A^B\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}$

积分无处不在，它是物理学家用来“求和”的最重要的工具。

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