导数与微分

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导数是微积分的「心脏」，它为我们提供了一个强大的工具来描述变化的快慢，即 瞬时变化率．

导数（Derivative）

想象一下你在山路上开车，你的位置 $s$ s 是时间 $t$ t 的函数 $s (t)$ s(t)．在一段时间 $Δ t$ Delta t 内，你移动了 $Δ s = s (t + Δ t) - s (t)$ Delta s = s(t+Delta t) - s(t)．你的 平均速度 是 $\frac{Δ s}{Δ t}$ Delta s/Delta t．

但如果你想知道在某一精确时刻 $t_{0}$ t_0 的 瞬时速度 呢？比如，你的速度计在那一刻的读数是多少？这时，你就需要让时间间隔 $Δ t$ Delta t 变得无限小．这个过程就是求导．

函数 $f (x)$ f(x) 在点 $x_{0}$ x_0 的导数定义为：

f^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

f'(x_0) = lim_Delta x -> 0 f(x_0 + Delta x) - f(x_0)Delta x

如果这个极限存在，我们就说函数 $f (x)$ f(x) 在 $x_{0}$ x_0 点可导．导数 $f^{'} (x)$ f'(x) 也记作 $\frac{d y}{d x}$ dy/dx．

从几何上看，导数 $f^{'} (x_{0})$ f'(x_0) 是函数图像在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ (x_0, f(x_0)) 处 切线的斜率．它代表了函数在该点最陡峭的程度和方向．

例题 1：求 $f (x) = x^{2}$ f(x) = x^2 的导数

让我们用定义来求这个基本函数的导数．

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{(x + Δ x)^{2} - x^{2}}{Δ x}

f'(x) = lim_Delta x -> 0 (x + Delta x)^2 - x^2Delta x

展开分子中的平方项：

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x Δ x + (Δ x)^{2} - x^{2}}{Δ x}

f'(x) = lim_Delta x -> 0 x^2 + 2xDelta x + (Delta x)^2 - x^2Delta x

消去 $x^{2}$ x^2 项：

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{2 x Δ x + (Δ x)^{2}}{Δ x}

f'(x) = lim_Delta x -> 0 2xDelta x + (Delta x)^2Delta x

在取极限之前，我们可以用 $Δ x$ Delta x 来约分（因为 $Δ x \to 0$ Delta x -> 0 但不等于 0）：

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} (2 x + Δ x)

f'(x) = lim_Delta x -> 0 (2x + Delta x)

现在，让 $Δ x$ Delta x 趋近于 0，我们得到：

f^{'} (x) = 2 x

f'(x) = 2x

这告诉我们，对于抛物线 $y = x^{2}$ y=x^2，在任意点 $x$ x 的切线斜率都是 $2 x$ 2x．例如，在 $x = 1$ x=1 处，斜率为 2；在 $x = 3$ x=3 处，斜率为 6，曲线变得更陡．

常见导数规则

幸运的是，我们不需要每次都使用极限的定义．有一些方便的规则：

常数法则: $(c)^{'} = 0$ (c)' = 0
幂函数法则: $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ (x^n)' = nx^n-1
加法法则: $(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}$ (f+g)' = f' + g'
乘法法则: $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ (fg)' = f'g + fg'
除法法则: $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f^{'} g - f g^{'}}{g^{2}}$ (f/g)' = f'g - fg'/g^2
链式法则（用于复合函数）：如果 $y = f (u)$ y=f(u) 且 $u = g (x)$ u=g(x)，那么 $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$ dy/dx = dy/du * du/dx

微分（Differential）

微分提供了一种看待导数的不同视角，它关注于变化的「线性近似」．

如果函数 $y = f (x)$ y = f(x) 在点 $x$ x 可导，那么当自变量有微小变化 $Δ x$ Delta x 时，函数的增量 $Δ y = f (x + Δ x) - f (x)$ Delta y = f(x + Delta x) - f(x) 可以近似为：

Δ y \approx f^{'} (x) Δ x

Delta y ~ f'(x) Delta x

这个近似值的右边部分，我们就称为函数 $y = f (x)$ y=f(x) 的微分，记作 $d y$ dy：

d y = f^{'} (x) d x

dy = f'(x) dx

这里我们用 $d x$ dx 来表示自变量的微小变化 $Δ x$ Delta x．微分 $d y$ dy 是函数增量 $Δ y$ Delta y 的 线性主部．在足够小的尺度上，任何平滑的曲线都可以看作是一条直线，微分正是抓住了这种局部线性关系．

物理中的应用

导数是物理学的核心语言，几乎所有瞬时变化的过程都用导数来描述．

速度与加速度：位移 $s (t)$ s(t) 对时间的导数是瞬时速度 $v (t)$ v(t)，速度 $v (t)$ v(t) 对时间的导数是瞬时加速度 $a (t)$ a(t)．
- $v (t) = \frac{d s (t)}{d t}$ v(t) = ds(t)/dt
- $a (t) = \frac{d v (t)}{d t} = \frac{d^{2} s (t)}{d t^{2}}$ a(t) = dv(t)/dt = d^2s(t)/dt^2（二阶导数）
力与势能：在保守力场中，力是势能 $U (x)$ U(x) 对位置的负导数（在三维中是负梯度）．这表示力总是指向势能下降最快的方向．
- 一维情况： $F (x) = - \frac{d U (x)}{d x}$ F(x) = -dU(x)/dx
电流：通过一个截面的电流强度 $I (t)$ I(t) 是电荷量 $Q (t)$ Q(t) 随时间变化的速率．
- $I (t) = \frac{d Q (t)}{d t}$ I(t) = dQ(t)/dt
波的方程：描述波动的方程，如 $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ d^2 u/d t^2 = c^2 d^2 u/d x^2，使用了 偏导数，这是导数概念在多变量函数中的推广．

理解导数和微分，是建立和求解描述物理系统运动和演化方程的关键第一步．

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本页面贡献者：Leafuke
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