数学符号表

本文规定了 Physics Learning Wiki 中数学符号的推荐写法，并给出了一些应用范例．

本文参考了 GB/T 3102.11-1993、ISO 80000-2:2019 和《具体数学》的符号表修订，故基本与国内通行教材的符号体系和物理学场景的惯用符号体系兼容．

数理逻辑

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n1.1	$p \land q$ p land q	$p$ p 和 $q$ q 的合取	$p$ p 与 $q$ q.
n1.2	$p \lor q$ p lor q	$p$ p 和 $q$ q 的析取	$p$ p 或 $q$ q; 此处的「或」是包含的，即若 $p$ p， $q$ q 中有一个为真陈述，则 $p \lor q$ p lor q 为真．
n1.3	$\neg p$ lnot p	$p$ p 的否定	非 $p$ p.
n1.4	$p ⟹ q$ p implies q	$p$ p 蕴含 $q$ q; 若 $p$ p 为真，则 $q$ q 为真	$q ⟸ p$ q impliedby p 和 $p ⟹ q$ p implies q 同义．
n1.5	$p ⟺ q$ p iff q	$p$ p 等价于 $q$ q	$(p ⟹ q) \land (q ⟹ p)$ (p implies q) land (q implies p) 和 $p ⟺ q$ p iff q 同义．
n1.6	$(\forall x \in A) p (x)$ (forall~x in A)~~p(x)	对 $A$ A 中所有的 $x$ x, 命题 $p (x)$ p(x) 均为真	如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ A, 可以使用记号 $(\forall x) p (x)$ (forall~x)~~p(x). $\forall$ forall 称为全称量词． $x \in A$ x in A 的含义见 n2.1.
n1.7	$(\exists x \in A) p (x)$ (exists~x in A)~~p(x)	存在一个属于 $A$ A 的 $x$ x 使得 $p (x)$ p(x) 为真	如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ A, 可以使用记号 $(\exists x) p (x)$ (exists~x)~~p(x). $\exists$ exists 称为存在量词． $x \in A$ x in A 的含义见 n2.1. $(\exists! x) p (x)$ (exists!~x)~~p(x)（唯一量词）用来表示恰有一个 $x$ x 使得 $p (x)$ p(x) 为真． $\exists!$ exists! 也可以写作 $\exists^{1}$ exists^1.

集合论

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n2.1	$x \in A$ x in A	$x$ x 属于 $A$ A， $x$ x 是集合 $A$ A 中的元素	$A ∋ x$ A ni x 和 $x \in A$ x in A 同义．
n2.2	$y \notin A$ y notin A	$y$ y 不属于 $A$ A， $y$ y 不是集合 $A$ A 中的元素
n2.3	${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$ x_1, x_2, dots, x_n	含元素 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ x_1, x_2, dots, x_n 的集合	也可写作 ${x_{i} \| i \in I}$ x_i ~vert~ i in I, 其中 $I$ I 表示指标集．
n2.4	${x \in A \| p (x)}$ x in A ~vert~ p(x)	$A$ A 中使命题 $p (x)$ p(x) 为真的所有元素组成的集合	例如 ${x \in R \| x \geq 5}$ x in R ~vert~ x >= 5; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ A，可以使用符号 ${x \| p (x)}$ x ~vert~ p(x)（如在只考虑实数集时可使用 ${x \| x \geq 5}$ x ~vert~ x >= 5） $\|$ vert 也可以使用冒号替代，如 ${x \in A : p (x)}$ x in A : p(x).
n2.5	$card A$ card A; $\| A \|$ vert Avert; $# A$ # A	$A$ A 中的元素个数， $A$ A 的基数
n2.6	$\emptyset$ varnothing	空集	不应使用 $\emptyset$ emptyset.
n2.7	$B \subseteq A$ B subseteq A	$B$ B 包含于 $A$ A 中， $B$ B 是 $A$ A 的子集	$B$ B 的每个元素都属于 $A$ A. $\subset$ subset 也可用于该含义，但请参阅 n2.8 的说明． $A \supseteq B$ A supseteq B 和 $B \subseteq A$ B subseteq A 同义．
n2.8	$B \subset A$ B subset A	$B$ B 真包含于 $A$ A 中， $B$ B 是 $A$ A 的真子集	$B$ B 的每个元素都属于 $A$ A, 且 $A$ A 中至少有一个元素不属于 $B$ B. 若 $\subset$ subset 的含义取 n2.7, 则 n2.8 对应的符号应使用 $⊊$ subsetneq. $A \supset B$ A supset B 与 $B \subset A$ B subset A 同义．
n2.9	$A \cup B$ A cup B	$A$ A 和 $B$ B 的并集	$A \cup B := {x \| x \in A \lor x \in B}$ A cup B := x ~vert~ x in A lor x in B; $:=$ := 的定义参见 n4.3
n2.10	$A \cap B$ A cap B	$A$ A 和 $B$ B 的交集	$A \cap B := {x \| x \in A \land x \in B}$ A cap B := x ~vert~ x in A land x in B; $:=$ := 的定义参见 n4.3
n2.11	$⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$ displaystyle bigcuplimits_i=1^n A_i	集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ A_1, A_2, dots, A_n 的并集	$⋃_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n}$ displaystyle bigcuplimits_i=1^n A_i=A_1cup A_2cup dots cup A_n; 也可使用 $⋃_{i = 1}^{n}$ displaystyle bigcupnolimits_i=1^n， $⋃_{i \in I}$ displaystyle bigcuplimits_iin I， $⋃_{i \in I}$ displaystyle bigcupnolimits_iin I, 其中 $I$ I 表示指标集；进一步，令 $P (i)$ P(i) 为某个与 $i$ i 相关的命题，可使用 $⋃_{P (i)} A_{i}$ displaystyle bigcup_P(i) A_i 表示所有使 $P (i)$ P(i) 为真的 $i$ i 对应的 $A_{i}$ A_i 之并集
n2.12	$⋂_{i = 1}^{n} A_{i}$ displaystyle bigcaplimits_i=1^n A_i	集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ A_1, A_2, dots, A_n 的交集	$⋂_{i = 1}^{n} A_{i} = A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}$ displaystyle bigcaplimits_i=1^n A_i=A_1cap A_2cap dots cap A_n; 也可使用 $⋂_{i = 1}^{n}$ displaystyle bigcapnolimits_i=1^n， $⋂_{i \in I}$ displaystyle bigcaplimits_iin I， $⋂_{i \in I}$ displaystyle bigcapnolimits_iin I, 其中 $I$ I 表示指标集；进一步，令 $P (i)$ P(i) 为某个与 $i$ i 相关的命题，可使用 $⋂_{P (i)} A_{i}$ displaystyle bigcap_P(i) A_i 表示所有使 $P (i)$ P(i) 为真的 $i$ i 对应的 $A_{i}$ A_i 之交集
n2.13	$A ∖ B$ A setminus B	$A$ A 和 $B$ B 的差集	$A ∖ B = {x \| x \in A \land x \notin B}$ A setminus B = x ~vert~ x in A land x notin B; 不应使用 $A - B$ A - B; 当 $B$ B 是 $A$ A 的子集时也可使用 $∁_{A} B$ complement_A B, 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ A，则 $A$ A 可以省略．不引起歧义的情况下也可使用 $\overset{―}{B}$ B 表示集合 $B$ B 的补集．
n2.14	$(a, b)$ (a, b)	有序数对 $a$ a， $b$ b; 有序偶 $a$ a， $b$ b	$(a, b) = (c, d)$ (a, b) = (c, d) 当且仅当 $a = c$ a = c 且 $b = d$ b = d.
n2.15	$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ (a_1, a_2, dots, a_n)	有序 $n$ n 元组	参见 n2.14.
n2.16	$A \times B$ A * B	集合 $A$ A 和 $B$ B 的笛卡尔积	$A \times B = {(x, y) \| x \in A \land y \in B}$ A * B = (x, y) ~vert~ x in A land y in B.
n2.17	$\prod_{i = 1}^{n} A_{i}$ displaystyle prodlimits_i=1^n A_i	集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ A_1, A_2, dots, A_n 的笛卡尔积	$\prod_{i = 1}^{n} A_{i} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \| x_{1} \in A_{1}, x_{2} \in A_{2}, \dots, x_{n} \in A_{n}}$ displaystyle prodlimits_i=1^n A_i= (x_1, x_2, dots, x_n) ~vert~ x_1 in A_1, x_2 in A_2, dots, x_n in A_n; $A \times A \times \dots \times A$ A * A * dots * A 记为 $A^{n}$ A^n, 其中 $n$ n 是乘积中的因子数；该符号的另一种用法参见 n6.8
n2.18	${id}_{A}$ id_A	$A \times A$ A* A 的对角集	${id}_{A} = {(x, x) \| x \in A}$ id_A= (x, x)~vert~xin A; 如果从上下文中可以得知考虑的是哪个集合 $A$ A, 则 $A$ A 可以省略．
n2.19	$1_{A}$ 1_A	指示函数	$1_{A} (a) = [a \in A]$ 1_A(a)=[ain A]， $[\cdot]$ [*] 的定义参见 n6.24．
n2.20	$P (A)$ P(A); $2^{A}$ 2^A	幂集	$P (A) = {S : S \subseteq A}$ P(A)= S:Ssubseteq A

标准数集和区间

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n3.1	$N$ N	自然数集	$N = {0, 1, 2, 3, \dots}$ N = 0, 1, 2, 3, dots; $N^{} = N_{+} = {1, 2, 3, \dots}$ N^ = N_+ = 1, 2, 3, dots; 可用如下方式添加其他限制： $N_{> 5} = {n \in N \| n > 5}$ N_> 5 = n in N ~vert~ n > 5; 也可使用 $N$ N.
n3.2	$Z$ Z	整数集	$Z^{} = Z_{+} = {n \in Z \| n \neq 0}$ Z^ = Z_+ = n in Z ~vert~ n ne 0; 可用如下方式添加其他限制： $Z_{> - 3} = {n \in Z \| n > - 3}$ Z_> -3 = n in Z ~vert~ n > -3; 也可使用 $Z$ Z.
n3.3	$Q$ Q	有理数集	$Q^{} = Q_{+} = {r \in Q \| r \neq 0}$ Q^ = Q_+ = r in Q ~vert~ r ne 0; 可用如下方式添加其他限制： $Q_{< 0} = {r \in Q \| r < 0}$ Q_< 0 = r in Q ~vert~ r < 0; 也可使用 $Q$ Q.
n3.4	$R$ R	实数集	$R^{} = R_{+} = {x \in R \| x \neq 0}$ R^ = R_+ = x in R ~vert~ x ne 0; 可用如下方式添加其他限制： $R_{> 0} = {x \in R \| x > 0}$ R_> 0 = x in R ~vert~ x > 0; 也可使用 $R$ R.
n3.5	$C$ C	复数集	$C^{} = C_{+} = {z \in C \| z \neq 0}$ C^ = C_+ = z in C ~vert~ z ne 0; 也可使用 $C$ C.
n3.6	$P$ P	（正）素数集	$P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, \dots}$ P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dots; 也可使用 $P$ P.
n3.7	$[a, b]$ [a, b]	$a$ a 到 $b$ b 的闭区间	$[a, b] = {x \in R \| a \leq x \leq b}$ [a, b] = x in R ~vert~ a <= x <= b.
n3.8	$(a, b]$ (a, b]	$a$ a 到 $b$ b 的左开右闭区间	$(a, b] = {x \in R \| a < x \leq b}$ (a, b] = x in R ~vert~ a < x <= b; $(- \infty, b] = {x \in R \| x \leq b}$ (-inf, b] = x in R ~vert~ x <= b.
n3.9	$[a, b)$ [a, b)	$a$ a 到 $b$ b 的左闭右开区间	$[a, b) = {x \in R \| a \leq x < b}$ [a, b) = x in R ~vert~ a <= x < b; $[a, + \infty) = {x \in R \| a \leq x}$ [a, +inf) = x in R ~vert~ a <= x.
n3.10	$(a, b)$ (a, b)	$a$ a 到 $b$ b 的开区间	$(a, b) = {x \in R \| a < x < b}$ (a, b) = x in R ~vert~ a < x < b; $(- \infty, b) = {x \in R \| x < b}$ (-inf, b) = x in R ~vert~ x < b; $(a, + \infty) = {x \in R \| a < x}$ (a, +inf) = x in R ~vert~ a < x.

关系

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n4.1	$a = b$ a = b	$a$ a 等于 $b$ b	$\equiv$ equiv 用于强调某等式是恒等式该符号的另一个含义参见 n4.18.
n4.2	$a \neq b$ a ne b	$a$ a 不等于 $b$ b
n4.3	$a := b$ a := b	$a$ a 定义为 $b$ b	参见 n2.9,n2.10
n4.4	$a \approx b$ a ~ b	$a$ a 约等于 $b$ b	不排除相等．
n4.5	$a ≃ b$ a simeq b	$a$ a 渐近等于 $b$ b	例如：当 $x \to a$ x-> a 时， $\frac{1}{\sin (x - a)} ≃ \frac{1}{x - a}$ 1sin(x-a) simeq 1x-a; $x \to a$ x -> a 的含义参见 n4.15.
n4.6	$a \propto b$ a propto b	$a$ a 与 $b$ b 成正比	也可使用 $a \sim b$ a ~ b. $\sim$ ~ 也用于表示等价关系．
n4.7	$M ≅ N$ M cong N	$M$ M 与 $N$ N 全等	当 $M$ M 和 $N$ N 是点集（几何图形）时．该符号也用于表示代数结构的同构．
n4.8	$a < b$ a < b	$a$ a 小于 $b$ b
n4.9	$b > a$ b > a	$b$ b 大于 $a$ a
n4.10	$a \leq b$ a <= b	$a$ a 小于等于 $b$ b
n4.11	$b \geq a$ b >= a	$b$ b 大于等于 $a$ a
n4.12	$a ≪ b$ a ll b	$a$ a 远小于 $b$ b
n4.13	$b ≫ a$ b gg a	$b$ b 远大于 $a$ a
n4.14	$\infty$ inf	无穷大	该符号不是数字．也可以使用 $+ \infty$ +inf， $- \infty$ -inf.
n4.15	$x \to a$ x -> a	$x$ x 趋近于 $a$ a	一般出现在极限表达式中． $a$ a 也可以为 $\infty$ inf， $+ \infty$ +inf， $- \infty$ -inf.
n4.16	$m ∣ n$ m mid n	$m$ m 整除 $n$ n	对整数 $m$ m， $n$ n: $(\exists k \in Z) m \cdot k = n$ (exists~k in Z)~~m* k = n.
n4.17	$m ⟂ n$ m perp n	$m$ m 与 $n$ n 互质	对整数 $m$ m， $n$ n: $(∄ k \in Z_{> 1}) (k ∣ m) \land (k ∣ n)$ (nexists~k in Z_>1)~~(k mid m) land (k mid n); 该符号的另一种用法参见 n5.2
n4.18	$n \equiv k (\mod m)$ n equiv k pmod m	$n$ n 模 $m$ m 与 $k$ k 同余	对整数 $n$ n， $k$ k， $m$ m: $m ∣ (n - k)$ m mid (n - k); 不要与 n4.1 中提到的相混淆．

初等几何学

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n5.1	$∥$ parallel	平行
n5.2	$⟂$ perp	垂直	该符号的另一种用法参见 n4.17
n5.3	$∠$ angle	（平面）角
n5.4	$\overset{―}{AB}$ AB	线段 $AB$ AB
n5.5	$\vec{AB}$ AB	有向线段 $AB$ AB
n5.6	$d (A, B)$ d(A, B)	点 $A$ A 和 $B$ B 之间的距离	即 $\overset{―}{AB}$ AB 的长度．

运算符

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n6.1	$a + b$ a + b	$a$ a 加 $b$ b
n6.2	$a - b$ a - b	$a$ a 减 $b$ b
n6.3	$a \pm b$ a +/- b	$a$ a 加或减 $b$ b
n6.4	$a \mp b$ a mp b	$a$ a 减或加 $b$ b	$- (a \pm b) = - a \mp b$ -(a +/- b) = -a mp b.
n6.5	$a \cdot b$ a * b; $a \times b$ a * b; $a b$ ab	$a$ a 乘 $b$ b	若出现小数点，则应只使用 $\times$ *; 部分用例参见 n2.16,n2.17,n14.11,n14.12
n6.6	$\frac{a}{b}$ ab; $a / b$ a/b; $a : b$ a:b	$a$ a 除以 $b$ b	$\frac{a}{b} = a \cdot b^{- 1}$ ab=a* b^-1; 可用 $:$ : 表示同一量纲的数值的比率．不应使用 $\div$ ÷.
n6.7	$\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ displaystyle sumlimits_i=1^n a_i	$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ a_1 + a_2 + dots + a_n	也可使用 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ displaystyle sumnolimits_i=1^n a_i， $\sum_{i} a_{i}$ displaystyle sumlimits_i a_i， $\sum_{i} a_{i}$ displaystyle sumnolimits_i a_i， $\sum a_{i}$ displaystyle sum a_i；令 $P (i)$ P(i) 为某个与 $i$ i 相关的命题，可使用 $\sum_{P (i)} a_{i}$ displaystyle sum_P(i) a_i 表示所有使 $P (i)$ P(i) 为真的 $i$ i 对应的 $a_{i}$ a_i 之和．
n6.8	$\prod_{i = 1}^{n} a_{i}$ displaystyle prodlimits_i=1^n a_i	$a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}$ a_1 * a_2 * dots * a_n	也可使用 $\prod_{i = 1}^{n} a_{i}$ displaystyle prodnolimits_i=1^n a_i， $\prod_{i} a_{i}$ displaystyle prodlimits_i a_i， $\prod_{i} a_{i}$ displaystyle prodnolimits_i a_i， $\prod a_{i}$ displaystyle prod a_i；令 $P (i)$ P(i) 为某个与 $i$ i 相关的命题，可使用 $\prod_{P (i)} a_{i}$ displaystyle prod_P(i) a_i 表示所有使 $P (i)$ P(i) 为真的 $i$ i 对应的 $a_{i}$ a_i 之积；该符号的另一种用法参见 n2.17
n6.9	$a^{p}$ a^p	$a$ a 的 $p$ p 次幂
n6.10	$a^{1 / 2}$ a^1/2; $\sqrt{a}$ a	$a$ a 的 $1 / 2$ 1/2 次方， $a$ a 的平方根	应避免使用 $\sqrt{} a$ sqrta.
n6.11	$a^{1 / n}$ a^1/n; $\sqrt[n]{a}$ sqrt[n]a	$a$ a 的 $1 / n$ 1/n 次幂， $a$ a 的 $n$ n 次根	应避免使用 $\sqrt[n]{} a$ sqrt[n]a.
n6.12	$\bar{x}$ x; ${\bar{x}}_{a}$ x_a	$x$ x 的算数均值	其他均值有：调和均值 ${\bar{x}}_{h}$ x_h; 几何均值 ${\bar{x}}_{g}$ x_g; 二次均值/均方根 ${\bar{x}}_{q}$ x_q 或 ${\bar{x}}_{r m s}$ x_rms. $\bar{x}$ x 也用于表示复数 $x$ x 的共轭，参见 n11.6.
n6.13	$sgn a$ sgn a	$a$ a 的符号函数	对实数 $a$ a: $sgn a = 1 (a > 0)$ sgn a=1quad (a>0); $sgn a = - 1 (a < 0)$ sgn a=-1quad (a<0); $sgn 0 = 0$ sgn 0=0; 参见 n11.7.
n6.14	$inf M$ inf M	$M$ M 的下确界	小于等于非空集合 $M$ M 中元素的最大上界．
n6.15	$sup M$ sup M	$M$ M 的上确界	大于等于非空集合 $M$ M 中元素的最小下界．
n6.16	$\| a \|$ lvert arvert	$a$ a 的绝对值	也可使用 $abs a$ abs a.
n6.17	$⌊ a ⌋$ lfloor arfloor	向下取整小于等于实数 $a$ a 的最大整数	例如： $⌊ 2.4 ⌋ = 2$ lfloor 2.4rfloor = 2; $⌊ - 2.4 ⌋ = - 3$ lfloor -2.4rfloor = -3.
n6.18	$⌈ a ⌉$ lceil arceil	向上取整大于等于实数 $a$ a 的最小整数	例如： $⌈ 2.4 ⌉ = 3$ lceil 2.4rceil = 3; $⌈ - 2.4 ⌉ = - 2$ lceil -2.4rceil = -2.
n6.19	$min (a, b)$ min(a, b); $min {a, b}$ min a, b	$a$ a 和 $b$ b 的最小值	可推广到有限集中．要表示无限集中的最小值建议使用 $inf$ inf, 参见 n6.14
n6.20	$max (a, b)$ max(a, b); $max {a, b}$ max a, b	$a$ a 和 $b$ b 的最大值	可推广到有限集中．要表示无限集中的最大值建议使用 $sup$ sup, 参见 n6.15
n6.21	$n mod m$ n bmod m	$n$ n 模 $m$ m 的余数	对正整数 $n$ n， $m$ m: $(\exists q \in N, r \in [0, m)) n = q m + r$ (exists~qinN, rin[0, m))~~n=qm+r; 其中 $r = n mod m$ r=n bmod m.
n6.22	$gcd (a, b)$ gcd(a, b); $gcd {a, b}$ gcd a, b	整数 $a$ a 和 $b$ b 的最大公因数	可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 $(a, b)$ (a, b).
n6.23	$lcm (a, b)$ lcm(a, b); $lcm {a, b}$ lcm a, b	整数 $a$ a 和 $b$ b 的最小公倍数	可推广到有限集中．不引起歧义的情况下可写为 $[a, b]$ [a, b]; $(a, b) [a, b] = \| a b \|$ (a, b)[a, b]=lvert abrvert.
n6.24	$[P]$ [P]	Iverson 括号	若命题 $P$ P 为真，则 $[P] = 1$ [P]=1，否则 $[P] = 0$ [P]=0．
n6.25	$a ↑ b$ auparrow b； $a ↑^{n} b$ auparrow^n b	Knuth 箭头	对非负整数 $a, b, n$ a,b,n： $a ↑^{n} b = a \underset{n times}{\underset{⏟}{↑ \dots ↑}} b$ auparrow^n b=a~uparrowdotsuparrow_n times~b； $a ↑^{0} b = a b$ auparrow^0 b=ab； $a ↑^{1} b = a ↑ b = a^{b}$ auparrow^1 b=auparrow b=a^b； $a ↑^{n} 0 = 1 (n > 0)$ auparrow^n 0=1quad(n>0)； $a ↑^{n} b = a ↑^{n - 1} (a ↑^{n} (b - 1))$ auparrow^nb=auparrow^n-1(auparrow^n(b-1)).
n6.26	$[x^{n}] f (x)$ [x^n]f(x)	多项式/形式幂级数/形式 Laurent 级数 $f (x)$ f(x) 中 $x^{n}$ x^n 项的系数	若 $f (x) = \sum_{i} a_{i} x^{i}$ displaystyle f(x)=sum_i a_ix^i，则 $[x^{n}] f (x) = a_{n}$ [x^n]f(x)=a_n；可推广到多元情况，如若 $f (x, y) = \sum_{i, j} a_{i, j} x^{i} y^{j}$ displaystyle f(x,y)=sum_i,ja_i,jx^iy^j，则 $[x^{n} y^{m}] f (x, y) = a_{n, m}$ [x^ny^m]f(x,y)=a_n,m.

组合数学

本节中的 $n$ n 和 $k$ k 是自然数， $a$ a 是复数，且 $k \leq n$ k<= n.

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n7.1	$n!$ n!	阶乘	$n! = \prod_{k = 1}^{n} k = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n (n > 0)$ n!=prod_k=1^n k=1* 2* 3* dots * nquad (n>0); $0! = 1$ 0!=1.
n7.2	$a^{\underset{―}{k}}$ a^k; $(a)_{- k}$ (a)_-k	下降阶乘幂	$a^{\underset{―}{k}} = a \cdot (a - 1) \cdot \dots \cdot (a - k + 1) (k > 0)$ a^k=a(a-1) dots *(a-k+1)quad (k>0); $a^{\underset{―}{0}} = 1$ a^0=1; $n^{\underset{―}{k}} = \frac{n!}{(n - k)!}$ n^k=n!(n-k)!.
n7.3	$a^{\overset{―}{k}}$ a^k; $(a)_{+ k}$ (a)_+k	上升阶乘幂	$a^{\overset{―}{k}} = a \cdot (a + 1) \cdot \dots \cdot (a + k - 1) (k > 0)$ a^k=a(a+1) dots *(a+k-1)quad (k>0); $a^{\overset{―}{0}} = 1$ a^0=1; $n^{\overset{―}{k}} = \frac{(n + k - 1)!}{(n - 1)!}$ n^k=(n+k-1)!(n-1)!.
n7.4	$(\binom{n}{k})$ nk	组合数	$(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ nk=n!k!(n-k)!.
n7.5	$[\binom{n}{k}]$ nbrack k	第一类 Stirling 数	$[\binom{n + 1}{k}] = n [\binom{n}{k}] + [\binom{n}{k - 1}]$ n+1brack k=nnbrack k+nbrack k-1; $x^{\overset{―}{n}} = \sum_{k = 0}^{n} [\binom{n}{k}] x^{k}$ displaystyle x^n=sum_k=0^nnbrack kx^k.
n7.6	${\binom{n}{k}}$ nbrace k	第二类 Stirling 数	${\binom{n}{k}} = \frac{1}{k!} \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} (\binom{k}{i}) (k - i)^{n}$ nbrace k=1/k!sum_i=0^k(-1)^iki(k-i)^n; $\sum_{k = 0}^{n} {\binom{n}{k}} x^{\underset{―}{k}} = x^{n}$ displaystylesum_k=0^nnbrace kx^k=x^n.

函数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n8.1	$f$ f	函数
n8.2	$f (x)$ f(x)， $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ f(x_1, dots, x_n)	函数 $f$ f 在 $x$ x 处的值函数 $f$ f 在 $(x_{1}, \dots, x_{n})$ (x_1, dots, x_n) 处的值
n8.3	$dom f$ dom f	$f$ f 的定义域	也可使用 $D (f)$ D(f).
n8.4	$ran f$ ran f	$f$ f 的值域	也可使用 $R (f)$ R(f).
n8.5	$f : A \to B$ f:A-> B	$f$ f 是 $A$ A 到 $B$ B 的映射	$dom f = A$ dom f=A 且 $(\forall x \in dom f) f (x) \in B$ (forall~x indom f)~~ f(x) in B.
n8.6	$x \mapsto T (x), x \in A$ xmapsto T(x), xin A	将所有 $x \in A$ xin A 映射到 $T (x)$ T(x) 的函数	$T (x)$ T(x) 仅用于定义，用来表示某个参数为 $x \in A$ xin A 的某个函数值．若这个函数为 $f$ f, 则对所有 $x \in A$ xin A 均有 $f (x) = T (x)$ f(x)=T(x). 因此 $T (x)$ T(x) 通常用来定义函数 $f$ f. 例如： $x \mapsto 3 x^{2} y, x \in [0, 2]$ xmapsto 3x^2y, xin[0, 2]; 这是由 $3 x^{2} y$ 3x^2y 定义的一个关于 $x$ x 的二次函数．若未引入函数符号，则用 $3 x^{2} y$ 3x^2y 表示该函数
n8.7	$f^{- 1}$ f^-1	$f$ f 的反函数	函数 $f$ f 的反函数 $f^{- 1}$ f^-1 有定义当且仅当 $f$ f 是单射．若 $f$ f 是单射，则 $dom (f^{- 1}) = ran f$ domleft(f^-1right) = ran f， $ran (f^{- 1}) = dom f$ ranleft(f^-1right) = dom f, 且 $(\forall x \in dom f) f^{- 1} (f (x)) = x$ (forall~xindom f)~~f^-1(f(x)) = x. 不要与函数的倒数 $f (x)^{- 1}$ f(x)^-1 混淆．
n8.8	$g \circ f$ gcirc f	$f$ f 和 $g$ g 的复合函数	$(g \circ f) (x) = g (f (x))$ (gcirc f)(x)=g(f(x)).
n8.9	$f : x \mapsto y$ f:xmapsto y	$f (x) = y$ f(x)=y， $f$ f 将 $x$ x 映射到 $y$ y
n8.10	$f \|_{a}^{b}$ fvert_a^b; $f (\dots, u, \dots) \|_{u = a}^{u = b}$ f(dots, u, dots)vert_u=a^u=b	$f (b) - f (a)$ f(b)-f(a); $f (\dots, b, \dots) - f (\dots, a, \dots)$ f(dots, b, dots)-f(dots, a, dots)	主要用于定积分的计算中．
n8.11	$lim_{x \to a} f (x)$ displaystyle limlimits_x-> af(x); ${lim}_{x \to a} f (x)$ limnolimits_x-> af(x)	当 $x$ x 趋近于 $a$ a 时 $f (x)$ f(x) 的极限	${lim}_{x \to a} f (x) = b$ limnolimits_x-> af(x)=b 可以写成 $f (x) \to b (x \to a)$ f(x)-> bquad (x -> a). 右极限和左极限的符号分别为 ${lim}_{x \to a +} f (x)$ limnolimits_x-> a+f(x) 和 ${lim}_{x \to a -} f (x)$ limnolimits_x-> a-f(x).
n8.12	$f (x) = O (g (x))$ f(x) = O(g(x))	$\| f (x) / g (x) \|$ lvert f(x)/g(x)rvert 在上下文隐含的限制中有上界， $f (x)$ f(x) 的阶不高于 $g (x)$ g(x)	当 $f / g$ f/g 与 $g / f$ g/f 均有界时称 $f$ f 与 $g$ g 是同阶的．使用符号 " $=$ =" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性．例如： $\sin x = O (x) (x \to 0)$ sin x=O(x)quad (x-> 0).
n8.13	$f (x) = o (g (x))$ f(x) = o(g(x))	在上下文隐含的限制中有 $f (x) / g (x) \to 0$ f(x)/g(x)-> 0， $f (x)$ f(x) 的阶高于 $g (x)$ g(x)	使用符号 " $=$ =" 是出于历史原因，其在此处不表示等价，因为不满足传递性．例如： $\cos x = 1 + o (x) (x \to 0)$ cos x=1+o(x)quad (x-> 0).
n8.14	$Δ f$ Delta f	$f$ f 的有限增量	上下文隐含的两函数值的差分．例如： $Δ x = x_{2} - x_{1}$ Delta x=x_2-x_1; $Δ f (x) = f (x_{2}) - f (x_{1})$ Delta f(x)=f(x_2)-f(x_1).
n8.15	$\frac{d f}{d x}$ dfdx; $f^{'}$ f'	$f$ f 对 $x$ x 的导（函）数	仅用于一元函数．可以显式指明自变量，如 $\frac{d f (x)}{d x}$ df(x)dx， $f^{'} (x)$ f'(x).
n8.16	${(\frac{d f}{d x})}_{x = a}$ left(dfdxright)_x=a; $f^{'} (a)$ f'(a)	$f$ f 在 $a$ a 处的导（函）数值	参见 n8.15
n8.17	$\frac{d^{n} f}{d x^{n}}$ d^n fdx^n; $f^{(n)}$ f^(n)	$f$ f 对 $x$ x 的 $n$ n 阶导（函）数	仅用于一元函数．可以显式指明自变量，如 $\frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}}$ d^n f(x)dx^n， $f^{(n)} (x)$ f^(n)(x). 可用 $f^{″}$ f'' 和 $f^{‴}$ f''' 分别表示 $f^{(2)}$ f^(2) 和 $f^{(3)}$ f^(3).
n8.18	$\frac{\partial f}{\partial x}$ d fd x; $f_{x}$ f_x	$f$ f 对 $x$ x 的偏导数	仅用于多元函数．可以显式指明自变量，如 $\frac{\partial f (x, y, \dots)}{\partial x}$ d f(x, y, dots)d x， $f_{x} (x, y, \dots)$ f_x(x, y, dots). 可以扩展到高阶，如 $f_{x}^{″} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x})$ f''_x=d^2 fd x^2=dd xleft(d fd xright); $f_{x y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x})$ f_xy=d^2 fd yd x=dd yleft(d fd xright).
n8.19	$\frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})}$ d(f_1, dots, f_m)d(x_1, dots, x_n)	Jacobi 矩阵	参见¹
n8.20	$d f$ df	$f$ f 的全微分	$d f (x, y, \dots) = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y + \dots$ df(x, y, dots)=d fd xdx+d fd ydy+dots.
n8.21	$δ f$ delta f	$f$ f 的（无穷小）变分
n8.22	$\int f (x) d x$ displaystyle int f(x)dx	$f$ f 的不定积分
n8.23	$\int_{a}^{b} f (x) d x$ displaystyle intlimits_a^b f(x)dx	$f$ f 从 $a$ a 到 $b$ b 的定积分	也可使用 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ displaystyle intnolimits_a^b f(x)dx; 定积分还可以定义在更一般的域上．如 $\int_{C}$ displaystyleintlimits_C， $\int_{S}$ displaystyleintlimits_S， $\int_{V}$ displaystyleintlimits_V， $\oint$ displaystyleoint, 分别表示在曲线 $C$ C, 曲面 $S$ S, 三维区域 $V$ V, 和闭曲线或曲面上的定积分．多重积分可写成 $\iint$ displaystyleiint， $∭$ displaystyleiiint 等．
n8.24	$f * g$ f*g	函数 $f$ f 和 $g$ g 的卷积	$(f * g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y) g (x - y) d y$ displaystyle (f*g)(x)=intlimits_-inf^inff(y)g(x-y)dy.

指数和对数函数

$x$ x 可以是复数．

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n9.1	$e$ e	自然对数的底	$e = lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = 2.718 281 8 \dots$ displaystyle e=limlimits_n->infleft(1+1/nright)^n=2.718~281~8dots; 不要写成 $e$ e.
n9.2	$a^{x}$ a^x	$x$ x 的指数函数（以 $a$ a 为底）	参见 n6.9.
n9.3	$e^{x}$ e^x; $\exp x$ exp x	$x$ x 的指数函数（以 $e$ e 为底）
n9.4	$\log_{a} x$ log_a x	$x$ x 的以 $a$ a 为底的对数	当底数不需要指定的时候可以使用 $\log x$ log x. 不应用 $\log x$ log x 替换 $\ln x$ ln x， $\lg x$ lg x， $lb x$ lb x 中的任意一个．
n9.5	$\ln x$ ln x	$x$ x 的自然对数	$\ln x = \log_{e} x$ ln x = log_e x; 参见 n9.4.
n9.6	$\lg x$ lg x	$x$ x 的常用对数	$\lg x = \log_{10} x$ lg x = log_10 x; 参见 n9.4.
n9.7	$lb x$ lb x	$x$ x 的以 $2$ 2 为底的对数	$lb x = \log_{2} x$ lb x = log_2 x; 参见 n9.4.

三角函数和双曲函数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n10.1	$π$ pi	圆周率	$π = 3.141 592 6 \dots$ pi = 3.141~592~6dots.
n10.2	$\sin x$ sin x	$x$ x 的正弦	$\sin x = \frac{e^{i x} - e^{- i x}}{2 i}$ sin x=e^ix-e^-ix2i; $(\sin x)^{n}$ (sin x)^n， $(\cos x)^{n}$ (cos x)^n( $n \geq 2$ n>= 2) 等通常写为 $\sin^{n} x$ sin^n x， $\cos^{n} x$ cos^n x 等．
n10.3	$\cos x$ cos x	$x$ x 的余弦	$\cos x = \sin (x + π / 2)$ cos x = sin(x + pi/2).
n10.4	$\tan x$ tan x	$x$ x 的正切	$\tan x = \sin x / \cos x$ tan x = sin x/cos x; 不可使用 $tg x$ tg x.
n10.5	$\cot x$ cot x	$x$ x 的余切	$\cot x = 1 / \tan x$ cot x = 1/tan x; 不可使用 $ctg x$ ctg x.
n10.6	$\sec x$ sec x	$x$ x 的正割	$\sec x = 1 / \cos x$ sec x = 1/cos x.
n10.7	$\csc x$ csc x	$x$ x 的余割	$\csc x = 1 / \sin x$ csc x = 1/sin x; 不可使用 $cosec x$ cosec x.
n10.8	$\arcsin x$ arcsin x	$x$ x 的反正弦	$y = \arcsin x ⟺ x = \sin y (- π / 2 \leq y \leq π / 2)$ y = arcsin x iff x = sin yquad (-pi/2 <= y <= pi/2).
n10.9	$\arccos x$ arccos x	$x$ x 的反余弦	$y = \arccos x ⟺ x = \cos y (0 \leq y \leq π)$ y = arccos x iff x = cos yquad (0 <= y <= pi).
n10.10	$\arctan x$ arctan x	$x$ x 反正切	$y = \arctan x ⟺ x = \tan y (- π / 2 \leq y \leq π / 2)$ y = arctan x iff x = tan yquad (-pi/2 <= y <= pi/2); 不可使用 $arctg x$ arctg x.
n10.11	$arccot x$ arccot x	$x$ x 反余切	$y = arccot x ⟺ x = \cot y (0 \leq y \leq π)$ y = arccot x iff x = cot yquad (0 <= y <= pi); 不可使用 $arcctg x$ arcctg x.
n10.12	$arcsec x$ arcsec x	$x$ x 反正割	$y = arcsec x ⟺ x = \sec y (0 \leq y \leq π, y \neq π / 2)$ y = arcsec x iff x = sec yquad (0<= y <= pi, yne pi/2).
n10.13	$arccsc x$ arccsc x	$x$ x 的反余割	$y = arccsc x ⟺ x = \csc y (- π / 2 \leq y \leq π / 2, y \neq 0)$ y = arccsc x iff x = csc yquad (-pi/2 <= y <= pi/2, yne 0); 不可使用 $arccosec x$ arccosec x.
n10.14	$\sinh x$ sinh x	$x$ x 的双曲正弦	$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ sinh x=e^x-e^-x2; 不可使用 $sh x$ sh x.
n10.15	$\cosh x$ cosh x	$x$ x 的双曲余弦	$\cosh^{2} x = \sinh^{2} x + 1$ cosh^2 x = sinh^2 x + 1; 不可使用 $ch x$ ch x.
n10.16	$\tanh x$ tanh x	$x$ x 的双曲正切	$\tanh x = \sinh x / \cosh x$ tanh x = sinh x/cosh x; 不可使用 $th x$ th x.
n10.17	$\coth x$ coth x	$x$ x 的双曲余切	$\coth x = 1 / \tanh x$ coth x = 1/tanh x.
n10.18	$sech x$ sech x	$x$ x 的双曲正割	$sech x = 1 / \cosh x$ sech x = 1/cosh x.
n10.19	$csch x$ csch x	$x$ x 的双曲余割	$csch x = 1 / \sinh x$ csch x = 1/sinh x; 不可使用 $cosech x$ cosech x.
n10.20	$arsinh x$ arsinh x	$x$ x 的反双曲正弦	$y = arsinh x ⟺ x = \sinh y$ y = arsinh x iff x = sinh y; 不可使用 $arsh x$ arsh x.
n10.21	$arcosh x$ arcosh x	$x$ x 的反双曲余弦	$y = arcosh x ⟺ x = \cosh y (y \geq 0)$ y = arcosh x iff x = cosh yquad (y >= 0); 不可使用 $arch x$ arch x.
n10.22	$artanh x$ artanh x	$x$ x 的反双曲正切	$y = artanh x ⟺ x = \tanh y$ y = artanh x iff x = tanh y; 不可使用 $arth x$ arth x.
n10.23	$arcoth x$ arcoth x	$x$ x 的反双曲余切	$y = arcoth x ⟺ x = \coth y (y \neq 0)$ y = arcoth x iff x = coth yquad (y ne 0).
n10.24	$arsech x$ arsech x	$x$ x 的反双曲正割	$y = arsech x ⟺ x = sech y (y \geq 0)$ y = arsech x iff x = sech yquad (y >= 0).
n10.25	$arcsch x$ arcsch x	$x$ x 的反双曲余割	$y = arcsch x ⟺ x = csch y (y \geq 0)$ y = arcsch x iff x = csch yquad (y >= 0); 不可使用 $arcosech x$ arcosech x.

复数

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n11.1	$i$ i	虚数单位	$i^{2} = - 1$ i^2 = -1; 不可使用 $i$ i 或 `i`
n11.2	$Re z$ Re z	$z$ z 的实部	参见 n11.3.
n11.3	$Im z$ Im z	$z$ z 的虚部	若 $z = x + i y (x, y \in R)$ z = x + i yquad (x, yinR), 则 $x = Re z$ x = Re z， $y = Im z$ y = Im z.
n11.4	$\| z \|$ lvert zrvert	$z$ z 的模	$\| z \| = \sqrt{(Re z)^{2} + (Im z)^{2}}$ lvert zrvert=(Re z)^2+(Im z)^2.
n11.5	$\arg z$ arg z	$z$ z 的辐角	若 $z = r e^{i φ}$ z = r e^ivarphi, 其中 $r = \| z \|$ r = lvert zrvert 且 $- π < φ \leq π$ -pi < varphi <= pi, 则 $φ = \arg z$ varphi = arg z. $Re z = r \cos φ$ Re z = r cos varphi， $Im z = r \sin φ$ Im z = r sin varphi.
n11.6	$\bar{z}$ z; $z^{}$ z^	$z$ z 的复共轭	$\bar{z} = Re z - i Im z$ z=Rez-iImz.
n11.7	$sgn z$ sgn z	$z$ z 的单位模函数	$sgn z = z / \| z \| = \exp (i \arg z) (z \neq 0)$ sgn z =z / lvert zrvert = exp(i arg z)quad (z ne 0); $sgn 0 = 0$ sgn 0 = 0; 参见 n6.13.

矩阵

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n12.1	$A$ A; 参见²	$m \times n$ m* n 型矩阵 $A$ A	$a_{i j} = (A)_{i j}$ a_ij = (A)_ij; 也可使用 $A = (a_{i j})$ A = (a_ij). 其中 $m$ m 为行数， $n$ n 为列数 $m = n$ m=n 时称为方阵可用方括号替代圆括号．
n12.2	$A + B$ A + B	矩阵 $A$ A 和 $B$ B 的和	$(A + B)_{i j} = (A)_{i j} + (B)_{i j}$ (A + B)_ij = (A)_ij + (B)_ij; 矩阵 $A$ A 和 $B$ B 的行数和列数必须分别相同．
n12.3	$x A$ x A	标量 $x$ x 和矩阵 $A$ A 的乘积	$(x A)_{i j} = x (A)_{i j}$ (x A)_ij = x (A)_ij.
n12.4	$A B$ AB	矩阵 $A$ A 和 $B$ B 的乘积	$(A B)_{i k} = \sum_{j} (A)_{i j} (B)_{j k}$ displaystyle(AB)_ik = sumlimits_j(A)_ij(B)_jk; 矩阵 $A$ A 的列数必须等于矩阵 $B$ B 的行数．
n12.5	$I$ I; $E$ E	单位矩阵	$(I)_{i k} = δ_{i k}$ (I)_ik = delta_ik; $δ_{i k}$ delta_ik 的定义参见 n14.9.
n12.6	$A^{- 1}$ A^-1	方阵 $A$ A 的逆	$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I (\det A \neq 0)$ AA^-1 = A^-1A = Iquad (det A ne 0). $\det A$ det A 的定义参见 n12.10.
n12.7	$A^{T}$ A^T; $A^{'}$ A'	$A$ A 的转置矩阵	$(A^{T})_{i k} = (A)_{k i}$ (A^T)_ik = (A)_ki.
n12.8	$\overset{―}{A}$ A; $A^{}$ A^	$A$ A 的复共轭矩阵	${(\overset{―}{A})}_{i k} = \overset{―}{(A)_{i k}}$ left(Aright)_ik=(A)_ik.
n12.9	$A^{H}$ A^H; $A^{†}$ A^dagger	$A$ A 的 Hermite 共轭矩阵	$A^{H} = {(\overset{―}{A})}^{T}$ A^H = left(Aright)^T.
n12.10	$\det A$ det A; 参见³	方阵 $A$ A 的行列式	也可使用 $\| A \|$ lvert Arvert.
n12.11	$rank A$ rankA	矩阵 $A$ A 的秩
n12.12	$tr A$ trA	方阵 $A$ A 的迹	$tr A = \sum_{i} (A)_{i i}$ displaystyletrA=sumlimits_i(A)_ii.
n12.13	$‖ A ‖$ lVert ArVert	矩阵 $A$ A 的范数	满足三角不等式：若 $A + B = C$ A + B = C, 则 $‖ A ‖ + ‖ B ‖ \geq ‖ C ‖$ lVert ArVert+lVert BrVert >= lVert CrVert.

坐标系

本节考虑三维空间中的一些坐标系．点 $O$ O 为坐标系的原点．任意点 $P$ P 均由从原点 $O$ O 到点 $P$ P 的 位置向量 确定．

编号	坐标	位置向量和微分	坐标名	备注
n13.1	$x$ x， $y$ y， $z$ z	$r = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}$ r = x e_x + y e_y + z e_z; $d r = d x e_{x} + d y e_{y} + d z e_{z}$ dr = dx~e_x + dy~e_y + dz~e_z	笛卡尔坐标	基向量 $e_{x}$ e_x， $e_{y}$ e_y， $e_{z}$ e_z 构成右手正交系，见图 1 和图 4．基向量也可用 $e_{1}$ e_1， $e_{2}$ e_2， $e_{3}$ e_3 或 $i$ i， $j$ j， $k$ k 表示，坐标也可用 $x_{1}$ x_1， $x_{2}$ x_2， $x_{3}$ x_3 或 $i$ i， $j$ j， $k$ k 表示．
n13.2	$ρ$ rho， $φ$ varphi， $z$ z	$r = ρ e_{ρ} + z e_{z}$ r = rho~e_rho + z~e_z; $d r = d ρ e_{ρ} + ρ d φ e_{φ} + d z e_{z}$ dr = drho~e_rho +rho~dvarphi~e_varphi + dz~e_z	柱坐标	$e_{ρ} (φ)$ e_rho(varphi)， $e_{φ} (φ)$ e_varphi(varphi)， $e_{z}$ e_z 组成右手正交系，见图 2．若 $z = 0$ z = 0, 则 $ρ$ rho 和 $φ$ varphi 是平面上的极坐标．
n13.3	$r$ r， $ϑ$ vartheta， $φ$ varphi	$r = r e_{r}$ r = r e_r; $d r = d r e_{r} + r d ϑ e_{ϑ} + r \sin ϑ d φ e_{φ}$ dr = dr~e_r + r~dvartheta~e_vartheta + r~sinvartheta~dvarphi~e_varphi	球坐标	$e_{r} (ϑ, φ)$ e_r(vartheta, varphi)， $e_{ϑ} (ϑ, φ)$ e_vartheta(vartheta, varphi)， $e_{φ} (φ)$ e_varphi(varphi) 组成右手正交系，见图 3．

如果不使用右手坐标系，而使用左手坐标系，则应在之前明确强调，以免符号误用．

图 1 右手笛卡尔坐标系

图 2 右手柱坐标系

图 3 右手球坐标系

图 4 右手坐标系

图 5 左手坐标系

标量和向量

本节中，基向量用 $e_{1}$ e_1， $e_{2}$ e_2， $e_{3}$ e_3 表示．本节中的许多概念都可以推广到 $n$ n 维空间．

标量和向量本身与坐标系的选择无关，而向量的每个标量分量与坐标系的选择有关．

对于基向量 $e_{1}$ e_1， $e_{2}$ e_2， $e_{3}$ e_3, 每个向量 $a$ a 都可以表示为 $a = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + a_{3} e_{3}$ a=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3, 其中 $a_{1}$ a_1， $a_{2}$ a_2 和 $a_{3}$ a_3 是唯一确定的标量值，将其称为向量相对于该组基向量的 "坐标"， $a_{1} e_{1}$ a_1e_1， $a_{2} e_{2}$ a_2e_2 和 $a_{3} e_{3}$ a_3e_3 称为向量相对于该组基向量的分向量．

在本节中，只考虑普通空间的笛卡尔（正交）坐标．笛卡尔坐标用 $x$ x， $y$ y， $z$ z 或 $a_{1}$ a_1， $a_{2}$ a_2， $a_{3}$ a_3 或 $x_{1}$ x_1， $x_{2}$ x_2， $x_{3}$ x_3 表示．

本节所有下标 $i$ i， $j$ j， $k$ k 的范围均为 $1$ 1 到 $3$ 3.

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n14.1	$a$ a; $\vec{a}$ a	向量 $a$ a
n14.2	$a + b$ a + b	向量 $a$ a 和 $b$ b 的和	$(a + b)_{i} = a_{i} + b_{i}$ (a + b)_i = a_i + b_i.
n14.3	$x a$ xa	标量 $x$ x 与向量 $a$ a 的乘积	$(x a)_{i} = x a_{i}$ (xa)_i = xa_i.
n14.4	$\| a \|$ lvert arvert	向量 $a$ a 的大小，向量 $a$ a 的范数	$\| a \| = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}$ lvert arvert=a_x^2+a_y^2+a_z^2; 也可使用 $‖ a ‖$ lVert arVert.
n14.5	$0$ 0; $\vec{0}$ 0	零向量	零向量的大小为 $0$ 0.
n14.6	$e_{a}$ e_a	$a$ a 方向的单位向量	$e_{a} = a / \| a \| (a \neq 0)$ e_a = a/lvertarvertquad (ane 0).
n14.7	$e_{x}$ e_x， $e_{y}$ e_y， $e_{z}$ e_z; $e_{1}$ e_1， $e_{2}$ e_2， $e_{3}$ e_3	笛卡尔坐标轴方向的单位向量	也可使用 $i$ i， $j$ j， $k$ k.
n14.8	$a_{x}$ a_x， $a_{y}$ a_y， $a_{z}$ a_z; $a_{i}$ a_i	向量 $a$ a 的笛卡尔分量	$a = a_{x} e_{x} + a_{y} e_{y} + a_{z} e_{z}$ a = a_x e_x + a_y e_y + a_z e_z; 如果上下文确定了基向量，则向量可以写为 $a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ a = (a_x, a_y, a_z). $a_{x} = a \cdot e_{x}$ a_x = a* e_x， $a_{y} = a \cdot e_{y}$ a_y = a* e_y， $a_{z} = a \cdot e_{z}$ a_z = a* e_z; $r = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}$ r = xe_x + ye_y + ze_z 是坐标为 $x$ x， $y$ y， $z$ z 的位置向量．
n14.9	$δ_{i k}$ delta_ik	Kronecker delta 符号	$δ_{i k} = [i = k]$ delta_ik=[i=k]，其中 $[\cdot]$ [*] 的定义参见 n6.24，即： $δ_{i k} = 1 (i = k)$ delta_ik=1quad (i=k); $δ_{i k} = 0 (i \neq k)$ delta_ik=0quad (ine k).
n14.10	$ε_{i j k}$ varepsilon_ijk	Levi-Civita 符号	$ε_{123} = ε_{231} = ε_{312} = 1$ varepsilon_123 = varepsilon_231 = varepsilon_312 = 1; $ε_{132} = ε_{321} = ε_{213} = - 1$ varepsilon_132 = varepsilon_321 = varepsilon_213 = -1; 其余的 $ε_{i j k}$ varepsilon_ijk 均为 $0$ 0.
n14.11	$a \cdot b$ a*b	向量 $a$ a 和 $b$ b 的标量积/内积	$a \cdot b = \sum_{i} a_{i} b_{i}$ displaystylea*b=sumlimits_i a_ib_i.
n14.12	$a \times b$ a*b	向量 $a$ a 和 $b$ b 的向量积/外积	右手笛卡尔坐标系中， $(a \times b)_{i} = \sum_{j} \sum_{k} ε_{i j k} a_{j} b_{k}$ displaystyle (a*b)_i = sumlimits_jsumlimits_kvarepsilon_ijka_jb_k; $ε_{i j k}$ varepsilon_ijk 的定义参见 n14.10.
n14.13	$\nabla$ nabla	nabla 算子	$\nabla = e_{x} \frac{\partial}{\partial x} + e_{y} \frac{\partial}{\partial y} + e_{z} \frac{\partial}{\partial z} = \sum_{i} e_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}$ displaystyle nabla = e_xd/d x+e_yd/d y+e_zd/d z=sumlimits_ie_id/d x_i.
n14.14	$\nabla φ$ nablavarphi; $grad φ$ gradvarphi	$φ$ varphi 的梯度	$\nabla φ = \sum_{i} e_{i} \frac{\partial φ}{\partial x_{i}}$ displaystyle nablavarphi=sumlimits_ie_idvarphi/d x_i; $grad$ grad 应使用 `\operatorname{\mathbf{grad}}`.
n14.15	$\nabla \cdot a$ nabla*a; $div a$ diva	$a$ a 的散度	$\nabla \cdot a = \sum_{i} \frac{\partial a_{i}}{\partial x_{i}}$ displaystyle nabla*a=sumlimits_id a_i/d x_i; $div$ div 应使用 `\operatorname{\mathbf{div}}`.
n14.16	$\nabla \times a$ nabla*a; $rot a$ rota	$a$ a 的旋度	$(\nabla \times a)_{i} = \sum_{j} \sum_{k} ε_{i j k} \frac{\partial a_{k}}{\partial x_{j}}$ displaystyle (nabla*a)_i=sumlimits_jsumlimits_kvarepsilon_ijkd a_k/d x_j; $rot$ rot 应使用 `\operatorname{\mathbf{rot}}`. 不应使用 $curl$ curl. $ε_{i j k}$ varepsilon_ijk 的定义参见 n14.10.
n14.17	$\nabla^{2}$ nabla^2; $Δ$ Delta	Laplace 算子	$\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ nabla^2=d^2d x^2+d^2d y^2+d^2d z^2.

特殊函数

本节中的 $z$ z， $w$ w 是复数， $k$ k， $n$ n 是自然数，且 $k \leq n$ k<= n．

编号	符号，表达式	意义，等同表述	备注与示例
n15.1	$γ$ gamma	Euler–Mascheroni 常数	$γ = lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n) = 0.577 215 6 \dots$ displaystyle gamma=limlimits_n->infleft(sumlimits_k=1^n1/k-ln nright)= 0.577~215~6 dots.
n15.2	$Γ (z)$ Gamma(z)	gamma 函数	$Γ (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{- t} d t (Re z > 0)$ displaystyleGamma(z)=intlimits_0^inft^z-1e^-tdtquad (Rez>0); $Γ (n + 1) = n!$ Gamma(n+1)=n!.
n15.3	$ζ (z)$ zeta(z)	Riemann zeta 函数	$ζ (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{z}} (Re z > 1)$ displaystylezeta(z)=sumlimits_n=1^inf1/n^zquad (Rez>1).
n15.4	$B (z, w)$ B(z, w)	beta 函数	$B (z, w) = \int_{0}^{1} t^{z - 1} (1 - t)^{w - 1} d t (Re z > 0$ displaystyleB(z, w)=intlimits_0^1 t^z-1(1-t)^w-1dtquad (Re z>0， $Re w > 0)$ Re w>0); $B (z, w) = \frac{Γ (z) Γ (w)}{Γ (z + w)}$ B(z, w)=Gamma(z)Gamma(w)Gamma(z+w); $\frac{1}{(n + 1) B (k + 1, n - k + 1)} = (\binom{n}{k})$ 1(n+1)B(k+1, n-k+1)=nk.

$\frac{\partial (f_{1}, \dots, f_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})} = (\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}} & \dots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}} \end{matrix})$ d(f_1, dots, f_m)d(x_1, dots, x_n)=pmatrixd f_1d x_1&cdots&d f_1d x_n vdots&ddots&vdots d f_md x_1&cdots&d f_md x_npmatrix; 矩阵的定义参见 n12.1 ↩
$(\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ pmatrixa_11&cdots&a_1n vdots&ddots&vdots a_m1&cdots&a_mnpmatrix ↩
$| \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |$ vmatrixa_11&cdots&a_1n vdots& &vdots a_n1&cdots&a_nnvmatrix ↩

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